並列に接続した変圧器2台の負荷分担を求める問題。
- 難易度 ★★★★☆
- 重要度 ★★★★★
定格負荷時の全損失を求める
変圧器の全損失を求める問題。問題文より無負荷損（鉄損）は分かっているため、銅損を求め合算するだけでよい。
定格負荷のα倍の負荷時の負荷損（銅損）の公式
\begin{eqnarray}
Pcα&=& α^2Pc \\
&=& (\frac{Pm}{Pt})^2Pc \\
&=& (\frac{Sm}{St})^2Pc \\
\end{eqnarray}
Pcα：定格負荷のα倍の負荷時の負荷損（銅損）[kW]、α：負荷率、Pc：定格時負荷の負荷損（銅損）[kW]、Pm：負荷の容量[kW]、Pt：変圧器の容量[kW]、Sm：負荷の容量[kVA]、St：変圧器の容量[kVA]
\begin{eqnarray}
Pcα&=& α^2Pc \\
&=& (\frac{6300}{10000\times0.9})^2\times{60} \\
&=& {29.4[kW]} \\
Pc+Pi&=& 16+29.4 \\
&=& {45.4[kW]} \\
\end{eqnarray}
よって問Aの答えは45.4[kW]であることが分かる。
同様に、変圧器Bについても銅損を求め合算する。
\begin{eqnarray}
Pcα&=& α^2Pc \\
&=& (\frac{4800}{7500\times0.8})^2\times{53} \\
&=& {33.92[kW]} \\
Pc+Pi&=& 15+33.92 \\
&=& {48.92[kW]} \\
\end{eqnarray}
よって問Bの答えは48.9[kW]であることが分かる。
変圧器並行運転時の力率を求める
抵抗成分とリアクタンス成分はそれぞれcosθとsinθをかけることで算出できる。
問題文から全損失を出す必要がある。鉄損は一定なので、銅損を求める。
1)より、銅損を求める際には力率を使用することが分かるので、並列運転時の力率を求めていく。
まず、無効率sinθ₁を求める。
\begin{eqnarray}
sinθ₁&=& \sqrt{1-cosθ₁^2}\\
&=& \sqrt{1-0.9^2}\\
&=& {0.4358}\\
\end{eqnarray}
同様に計算すると、cosθ₂＝0.8のときsinθ₂＝0.6である。
無効率から、無効電力を計算する。
\begin{eqnarray}
Q₁&=& S₁sinθ₁\\
&=& \frac{P₁}{cosθ₁}sinθ₁\\
&=& \frac{6300}{0.9}\times0.4358\\
&=& {3050.6[kVar]}\\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
Q₂&=& S₂sinθ₂\\
&=& \frac{P₂}{cosθ₂}sinθ₂\\
&=& \frac{4800}{0.8}\times0.6\\
&=& {3600[kVar]}\\
\end{eqnarray}
ここで、有効電力Pと無効電力Qから以下のようなベクトル図が描ける。
2台の変圧器容量を１つの変圧器と見なすと、以下のベクトル図となる。
この図から変圧器並行運転時のcosθ₃を求めることができる。
\begin{eqnarray}
S&=& \sqrt{P^2+Q^2}\\
&=& \sqrt{11100^2+6650.6^2}\\
&=& {12939.879}\\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
cosθ₃&=& \frac{P}{S}\\
&=& \frac{11100}{12939.879}\\
&=& {0.8578}\\
\end{eqnarray}
変圧器の負荷分担を求める
変圧器A、B2台を並列運転しているときの負荷分担は、各変圧器の短絡インピーダンス%Zに反比例する。
\begin{eqnarray}
{％ZB’}&=& \frac{SA}{SB} \times{％ZB} \\
SA’&=& \frac{％ZB’}{％ZA+％ZB’}\times{S（※Pでも同じ）} \\
SB’&=& \frac{％ZA}{％ZA+％ZB’}\times{S（※Pでも同じ）} \\
\end{eqnarray}
%ZB’：変圧器Aを基準とした際の、変圧器Bの換算パーセントインピーダンス[%]、
%ZB：変圧器Bのパーセントインピーダンス[%]、
SA：変圧器Aの定格容量[kVA]、SB:変圧器Bの定格容量[kVA]、SA’：変圧器Aの負荷分担容量[kVA]、SB’：変圧器Bの負荷分担容量[kVA]、S:負荷容量[kVA]、P：負荷容量[kW]、
%ZA：変圧器Aのパーセントインピーダンス[%]
変圧器の負荷分担を求めていく。今回は変圧器A基準で解くこととする。
まず%ZB’を求める。
\begin{eqnarray}
{％ZB’}&=& \frac{SA}{SB} \times{％ZB} \\
&=& \frac{10000}{7500} \times{7.5} \\
&=& {10[％]} \\
\end{eqnarray}
次に各変圧器の負荷分担を求める。
最終的に効率を出す際、全損失[kW]と合算することから、今回は定格容量は有効電力[kW]を使用する。
※公式どおり皮相電力[kVA]で計算して、後からcosθをかけて求めてもよい。その場合、負荷率α計算時分母も皮相電力[kVA]にすること！
\begin{eqnarray}
SA’&=& \frac{％ZB’}{％ZA+％ZB’}\times{S（※Pでも同じ）} \\
&=& \frac{10}{8+10}\times{11100} \\
&=& {6166.66[kW]} \\
SB’&=& \frac{％ZA}{％ZA+％ZB’}\times{S} \\
&=& \frac{8}{8+10}\times{11100} \\
&=& {4933.33kW} \\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
PcαA&=& αA^2PcA \\
&=& (\frac{6166.66}{10000\times0.8578})^2\times{60} \\
&=& {31.008[kW]} \\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
PcαB&=& αB^2PcB \\
&=& (\frac{4933.33}{7500\times0.8578})^2\times{53} \\
&=& {31.164[kW]} \\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
全損失&=& 31.008+16+31.164+15 \\
&=& {93.172[kW]} \\
\end{eqnarray}
よって問Cの答えは93.2[kW]であることが分かる。
2台並列運転したこの損失は、問ABの単独運転損失の合計94.3[kW]よりも小さくなっている。
このことから、問題文とも整合性がとれている。
運転総合効率を求める
\begin{eqnarray}
η&=& \frac{出力}{入力}=\frac{出力}{出力＋損失} \\
&=& \frac{Scosθ}{Scosθ+Pi+Pc} \\
\end{eqnarray}
η：全負荷時効率、S：変圧器定格容量[kVA]、cosθ：力率、Pi：鉄損[kW]、Pc：銅損 [kW]
問Cで損失合計を求めているので、そのまま公式に代入して効率を求める。
\begin{eqnarray}
η&=& \frac{出力}{出力＋損失} \\
&=& \frac{11100}{11100+93.172} \\
&=& {0.991675 ≒ 99.2[％]} \\
\end{eqnarray}
よって問Dの答えは99.2[%]であることが分かる。
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