変圧器の最大効率運転パターンと電圧変動率を求める問題。
- 難易度 ★★★☆☆
- 重要度 ★★★★★
全負荷時の効率を求める
\begin{eqnarray}
η=\frac{出力}{入力}&=& \frac{出力}{出力＋損失} \\
&=& \frac{Scosθ}{Scosθ+Pi+Pc}\\
ηα=\frac{出力}{入力}&=& \frac{出力}{出力＋損失} \\
&=& \frac{αScosθ}{αScosθ+Pi+α^2Pc}\\
\end{eqnarray}
η：全負荷時効率、S：変圧器定格容量[kVA]、cosθ：力率、Pi：鉄損[kW]、Pc：銅損 [kW] 、ηα：α負荷時の効率、α：負荷率
問題文より定格容量の負荷を接続しているので、η₁.₀は全負荷効率である。
\begin{eqnarray}
η=\frac{出力}{入力}&=& \frac{出力}{出力＋損失} \\
&=& \frac{Scosθ}{Scosθ+Pi+Pc}\\
&=& \frac{200}{200+0.71+3.37}\\
&=& 0.98000 ≒ 98.0[％] \\
\end{eqnarray}
よって問Aの答えは98.0[%]であることが分かる。
最大効率となる場合の負荷率を求める
鉄損と銅損は以下の関係で表される。Pi＝Pcの時、変圧器は最大効率となる。
PiとPcが分かっているとき、αは最大効率の時の負荷率となる。
\begin{eqnarray}
Pi&=& α^2Pc \\
α&=& \sqrt{\frac{Pi}{Pc}} \\
\end{eqnarray}
Pi：無負荷損(鉄損)[kW]、Pc：負荷損(銅損)[w]、α：負荷率
問題文より、無負荷損は710[W]、負荷損は3370[W]である。公式に代入する。
\begin{eqnarray}
Pi&=& α^2Pc \\
α&=& \sqrt{\frac{Pi}{Pc}} \\
&=& \sqrt{\frac{710}{3370}} \\
&=& 0.4590 ≒ 45.9[％] \\
\end{eqnarray}
よって問Bの答えは45.9[%]であることが分かる。
最大効率を求める
\begin{eqnarray}
η=\frac{出力}{入力}&=& \frac{出力}{出力＋損失} \\
&=& \frac{Scosθ}{Scosθ+Pi+Pc}\\
ηα=\frac{出力}{入力}&=& \frac{出力}{出力＋損失} \\
&=& \frac{αScosθ}{αScosθ+Pi+α^2Pc}\\
\end{eqnarray}
η：全負荷時効率、S：変圧器定格容量[kVA]、cosθ：力率、Pi：鉄損[kW]、Pc：銅損 [kW] 、ηα：α負荷時の効率、α：負荷率
問Bで求めた45.9[%]負荷を接続しているので、η₀.₈‐maxはα負荷時の効率である。
最大効率の時なので、鉄損＝銅損である。α²Pcを計算してもよいが、ほぼ同じ値がでるだけなので今回はPi＝Pcで計算する。
\begin{eqnarray}
ηα=\frac{出力}{入力}&=& \frac{出力}{出力＋損失} \\
&=& \frac{αScosθ}{αScosθ+Pi+α^2Pc}\\
&=& \frac{0.459\times200\times0.8}{0.459\times200\times0.8+0.71+0.71}\\
&=& \frac{73.44}{74.86}\\
&=& 0.9810 ≒ 98.1[％] \\
\end{eqnarray}
よって問Cの答えは98.1[%]であることが分かる。
百分率抵抗降下を求める
電圧変動率の近似公式
\begin{eqnarray}
ε&=& \frac{I₂nR₂cosθ+I₂nX₂sinθ}{Vn} \\
&=& pcosθ+qsinθ \\
p&=& \frac{I₂nR₂}{V₂n}\times100 \\
q&=& \frac{I₂nX₂}{V₂n}\times100 \\
％z&=& \sqrt{p^2+q^2} \\
\end{eqnarray}
ε：電圧変動率、I₂n：2次側定格電流[A]、R₂：換算後の1次側、2次側巻線抵抗の合計[Ω]、cosθ：力率、X₂：換算後の1次側、2次側リアクタンスの合計[Ω]、sinθ：無効率、p：百分率抵抗降下[%]、q：百分率リアクタンス降下[%]、V₂n：2次側定格電圧[V]、％z：パーセント短絡インピーダンス[%]
聞きなれないように感じるが、要は電圧降下である。定格に比べてどれだけの比率が、抵抗で電圧降下しているかを求める。
この問題では2次側の定格電圧が与えられていないので、一ひねり必要となる。
\begin{eqnarray}
p&=& \frac{I₂nR₂}{V₂n} \\
&=& \frac{I₂nR₂}{V₂n}\times{\frac{I₂n}{I₂n}} \\
&=& \frac{I₂n^2R₂}{I₂nV₂n} \\
&=& \frac{Pc}{S} \\
&=& \frac{3.370}{200} \\
&=& {0.01685 ≒ 1.69[％]} \\
\end{eqnarray}
よって問Dの答えは1.69[%]であることが分かる。
百分率リアクタンス降下
問Dでpが求まったので、公式に代入するだけでよい。
\begin{eqnarray}
ε&=& pcosθ+qsinθ \\
q&=& \frac{ε-pcosθ}{sinθ} \\
&=& \frac{3.4-1.685\times0.8}{0.6} \\
&=& {3.42[％]} \\
\end{eqnarray}
よって問Eの答えは3.42[%]であることが分かる。
パーセント短絡インピーダンスを求める
問Eでqが求まったので、公式に代入するだけでよい。
\begin{eqnarray}
％z&=& \sqrt{p^2+q^2} \\
&=& \sqrt{1.685^2+3.42^2} \\
&=& {3.8125 ≒ 3.81[％]} \\
\end{eqnarray}
よって問Fの答えは3.81[%]であることが分かる。
コメント